(*********************************************************************** Mathematica-Compatible Notebook This notebook can be used on any computer system with Mathematica 3.0, MathReader 3.0, or any compatible application. The data for the notebook starts with the line of stars above. To get the notebook into a Mathematica-compatible application, do one of the following: * Save the data starting with the line of stars above into a file with a name ending in .nb, then open the file inside the application; * Copy the data starting with the line of stars above to the clipboard, then use the Paste menu command inside the application. Data for notebooks contains only printable 7-bit ASCII and can be sent directly in email or through ftp in text mode. Newlines can be CR, LF or CRLF (Unix, Macintosh or MS-DOS style). NOTE: If you modify the data for this notebook not in a Mathematica- compatible application, you must delete the line below containing the word CacheID, otherwise Mathematica-compatible applications may try to use invalid cache data. For more information on notebooks and Mathematica-compatible applications, contact Wolfram Research: web: http://www.wolfram.com email: info@wolfram.com phone: +1-217-398-0700 (U.S.) Notebook reader applications are available free of charge from Wolfram Research. ***********************************************************************) (*CacheID: 232*) (*NotebookFileLineBreakTest NotebookFileLineBreakTest*) (*NotebookOptionsPosition[ 260149, 7290]*) (*NotebookOutlinePosition[ 268679, 7529]*) (* CellTagsIndexPosition[ 266956, 7478]*) (*WindowFrame->Normal*) Notebook[{ Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[StyleBox["Complexe getallen", "Title"]], "Subtitle", TextAlignment->Center], Cell["\<\ Project EXPLOOT Hania Uscka Vrije Universiteit Brussel\ \>", "Subsection", CellDingbat->None, TextAlignment->Left], Cell[CellGroupData[{ Cell["Inhoudstafel", "Section"], Cell[TextData[{ ButtonBox["1. Inleiding - Historische motivatie", ButtonData:>"H1", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["Re", ButtonData:>"H1 D1", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox["\[EDoubleDot]", ButtonData:>"H1 D1", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox["le getallen alleen...", ButtonData:>"H1 D1", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["... zijn niet voldoende.", ButtonData:>"H1 D2", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n", ButtonBox["2. Constructie van de complexe getallen", ButtonData:>"H2", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["Punten in het vlak", ButtonData:>"H2 D1", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["Vermenigvuldiging", ButtonData:>"H2 D2", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["Het optellen", ButtonData:>"H2 D3", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n", ButtonBox[ "3. Vergelijking van de structuur van de complexe getallen en re", ButtonData:>"H3", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox["\[EDoubleDot]", ButtonData:>"H3", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox["le getallen - het lichaam", ButtonData:>"H3", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n", ButtonBox["4. Complexe functies", ButtonData:>"H4", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["Inleiding", ButtonData:>"H4 D1", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["Machtsverheffing", ButtonData:>"H4 D2", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["Wortels", ButtonData:>"H4 D3", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox[ "Kennismaking met de werking van enkele complexe functies. Voorbeeld- en \ oefengedeelte", ButtonData:>"H4 D4", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t\t", ButtonBox["Inleiding", ButtonData:>"H4 D4 O1", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t\t", ButtonBox["Functies type z ", ButtonData:>"H4 D4 O2", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox["\[RightArrow]", ButtonData:>"H4 D4 O2", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox[" a z + b", ButtonData:>"H4 D4 O2", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t\t", Cell[BoxData[ FormBox[ ButtonBox[ RowBox[{\(Functies\ type\ z\), " ", "\[RightArrow]", " ", FormBox[\(z\^n\), "TraditionalForm"]}], ButtonData:>"H4 D4 O3", ButtonStyle->"Hyperlink"], TraditionalForm]]], "\n\t\t", ButtonBox["Functies type z ", ButtonData:>"H4 D4 O4", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox["\[RightArrow]", ButtonData:>"H4 D4 O4", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox[" Conjugate[z]", ButtonData:>"H4 D4 O4", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t\t", ButtonBox["Functies type z ", ButtonData:>"H4 D4 O5", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox["\[RightArrow]", ButtonData:>"H4 D4 O5", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox[" 1/z", ButtonData:>"H4 D4 O5", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t\t", ButtonBox["Functies type z ", ButtonData:>"H4 D4 O6", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox["\[RightArrow]", ButtonData:>"H4 D4 O6", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox[" 1/Conjugate[z]", ButtonData:>"H4 D4 O6", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["Inleiding tot de complexe exponenti", ButtonData:>"H4 D5", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox["\[EDoubleDot]", ButtonData:>"H4 D5", ButtonStyle->"Hyperlink"], ButtonBox["le functie", ButtonData:>"H4 D5", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n", ButtonBox["5. Toepassingen in de meetkunde", ButtonData:>"H5", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["Isometrie", ButtonData:>"H5 D1", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["Spirograph", ButtonData:>"H5 D2", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["Oplossen van meetkundige oefeningen", ButtonData:>"H5 D3", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n", ButtonBox["6. Fractalen", ButtonData:>"H6", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n", ButtonBox["7. De Hoofdstelling van de Algebra", ButtonData:>"H7", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n", ButtonBox["8. Slot", ButtonData:>"H8", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n", ButtonBox["9. Antwoorden op vraagstukken", ButtonData:>"H9", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox[ "grafische illustratie van de wetten voor het optellen en vermenigvuldigen", ButtonData:>"H9 D1", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox[ "de formules voor het multiplicatief invers en de tegengestelde van een \ complex getal", ButtonData:>"H9 D2", ButtonStyle->"Hyperlink"], "\n\t", ButtonBox["inductiebewijs - de wet van de Moivre.", ButtonData:>"H9 D3", ButtonStyle->"Hyperlink"] }], "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["Inleiding - Historische motivatie", "Section", CellTags->"H1"], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ "Re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen alleen..." }], "Subsection", CellDingbat->"\[FilledDiamond]", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, CellTags->"H1 D1"], Cell[TextData[{ "\"God made the natural numbers. The others, were man-made\" \ (Weierstrass)...\n\n\t... en de ", StyleBox["natuurlijke getallen", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " dienden om voorwerpen te tellen: ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], " halssnoer, ", StyleBox["2", FontSlant->"Italic"], " halssnoeren, ", StyleBox["3 ", FontSlant->"Italic"], " halssnoeren... - heel \"natuurlijke\" toepassing.\n\t\n\tMaar zo \ eenvoudig is het leven toch niet: \"Ik had ", StyleBox["17", FontSlant->"Italic"], " halssnoeren. Een aantal daarvan heb ik aan mijn dochter gegeven. Nu heb \ ik nog maar twee halssnoeren over. Hoeveel heb ik er weggegeven?\" - \ dergelijke vragen hebben de mensen aangezet om de negatieve getallen uit te \ vinden (of gewoon \"ontdekken\"). Daarna konden de mensen niet meer zeggen: \ vergelijking ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(x + 17 = 2\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " heeft geen oplossing. Zij heeft er \[EAcute]\[EAcute]n - in de \ zogenaamde ", StyleBox["gehele getallen", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ".\n\t\n\tHandel drijven - kopen en verkopen. \"Ik geef je ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], " halssnoer voor ", StyleBox["3 ", FontSlant->"Italic"], " vissen. Als je nu de ", StyleBox["10", FontSlant->"Italic"], " vissen die je vandaag gevangen hebt, aan me kwijt wil, krijg je van me \ ", StyleBox["3", FontSlant->"Italic"], " halssnoeren en wees blij dat je al naar huis kan!\" Hoeveel vissen \ krijgt nu de koper voor ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], " halssnoer? Wel, dat kan je weeral niet beschrijven met behulp van de \ getallen die we reeds kennen... Toen hebben de mensen de ", StyleBox["rationale getallen", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " bedacht: breuken. De vergelijking ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(3\ x = 10\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " heeft \[EAcute]\[EAcute]n oplossing in de nieuwe getallenwereld. Ooit \ dacht men er zelfs niet aan om de getallen, die als \"gehele\" eenheden \ werden beschouwd, te \"breken\". Men kan zeggen: \"De nood is de moeder der \ uitvindingen\".\n\t\n\tVerder hebben de mensen vastgesteld dat de verhouding \ van de omtrek van een cirkel tot zijn straal niet als breuk kan uitgedrukt \ worden. Dat soort getallen, die klaarblijkelijk ook al in de natuur \ bestonden, werden ", StyleBox["\"irrationaal\"", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " genoemd - getallen, die niet als ratio - verhouding - van twee gehele \ getallen kunnen uitgedrukt worden." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["... zijn niet voldoende.", "Subsection", CellDingbat->"\[FilledDiamond]", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, CellTags->"H1 D2"], Cell[TextData[{ "\tHet leven ging zijn gewone gang, en de geleerde mensen hielden zich \ bezig met het vinden van formules om de vergelijking type ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`a\ x\^2 + b\ x + c = 0\)], FontSlant->"Italic"], " op te lossen. Die formules zijn algemeen gekend.\nHun grote nut heeft \ mensen als Cardano, Tartaglia, Ferrari en hun tijdgenoten (zestiende eeuw) \ aangezet tot de poging om gelijkaardige formules voor derdegraads \ vergelijkingen type ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ StyleBox[\(a\ x\^3 + b\ x\^2 + c\ x + d = 0\), FontSlant->"Italic"], " "}], TraditionalForm]]], " te vinden.\n\tVele mensen denken dat de motivatie om complexe getallen te \ defini", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "ren het verlangen was om de vergelijking ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ StyleBox[\(x\^2 + 1\), FontSlant->"Italic"], StyleBox["=", FontSlant->"Italic"], RowBox[{ StyleBox["0", FontSlant->"Italic"], " ", "op", " ", "te", " ", "lossen"}]}], ","}], " "}], TraditionalForm]]], "anders gezegd - het bestaan van vierkantswortels van negatieve getallen. \ Dit is wel het resultaat van het defini", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "ren van complexe getallen, maar niet de reden daarvan. De \"uitvinding\" \ van de complexe getallen was namelijk het neveneffect van het zoeken naar de \ formule voor de oplossingen van de derdegraadsvergelijking, waarvan mensen \ reeds WISTEN, dat ze minstens ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], " oplossing had (omdat de polynomen ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(f(x) = a\ x\^3 + bx\^2 + c\ x + d\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " negatieve waarden bereiken voor negatieve ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`x\)]], " met grote absolute waarden, en positieve waarden voor grote positieve ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`x\)]], " indien ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`a > 0\)], FontSlant->"Italic"], " en omgekeerd in het geval van ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(a < 0\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], ". Het is dus - minstens intuit\[IDoubleDot]ef - evident, dat ergens \ onderweg de waarde nul moet bereikt worden). Daarom was het zoeken naar de \ formule voor die oplossing wel verantwoord in tegenstelling tot het zoeken \ naar de oplossing van ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(x\^2 + 1 = 0\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], ", die voor die mensen gewoonweg NIET BESTOND (evenmin als de oplossing \ van ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(x + 17 = 2\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " voor de mensen die geen negatieve getallen kenden. In geval van ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(x\^2 + 1 = 0\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " ontbrak er zelfs het \"praktische\" nut van het bestaan van zulke \ oplossingen...).\n\tDe formule ziet er wel indrukwekkend uit - na substitutie \ ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(x = y - b\/\(3\ a\)\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " in de vergelijking ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(a\ x\^3 + b\ x\^2 + c\ x + d = 0\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " en het delen door ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`a\)]], ", krijgen we de oplossing van de vergelijking met de nieuwe coefficienten \ (die we voor grotere overzichtelijkheid ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(p\ \)\)]], " en ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`q\)]], " gaan noemen) ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ RowBox[{ StyleBox[\(y\^3 + p\ y + q\), FontSlant->"Italic"], StyleBox["=", FontSlant->"Italic"], RowBox[{ StyleBox["0", FontSlant->"Italic"], ":"}]}], " "}], TraditionalForm]]], "\n\t\n", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\t\t\t\t y = \(\@\(\(-\(q\/2\)\) + \@\(\((q\/2)\)\^2 + \((p\/3)\)\^3\)\)\%3 + \)\)\)]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm \`\@\(\(-\(q\/2\)\) - \@\(\((q\/2)\)\^2 + \((p\/3)\)\^3\)\)\%3\)]], ".\n\nMen wist dus, dat elke derdegraadsvergelijking minimum 1 re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le wortel heeft en dat we die kunnen vinden door de vorige formule. \ Problemen ontstonden als de uitdrukking onder de vierkantswortel negatief \ was. Dan moest men de derdegraadswortel van een \"onre", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "el\" getal trekken. De som van de twee derdegraadswortels was al wel een \ re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "el getal, maar er moest iets bedacht worden om die \"tussenstap\" te \ verantwoorden. Er werd dus ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\@\(-1\)\ gedefinieerd, \ die\ \)\)]], "echter uitsluitend als een soort \"formele fictie\" behandeld werd.\n\t\ Later, in 1777, heeft Euler notatie \[ImaginaryI] en -\[ImaginaryI] \ ingevoerd voor de twee verschillende wortels van ", StyleBox["-1", FontSlant->"Italic"], ". Dat werd - in tegenstelling tot de ", StyleBox["\"re", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["le getallen\"", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ", wiens recht van bestaan men kon verantwoorden op basis van de boven \ aangehaalde voorbeelden van het re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le leven - een imaginair getal genoemd - pure fictie dus. \n\tKunnen we \ dat echt als puur fictieve verschijnselen behandelen? Zou er geen beeldrijke \ interpretatie van de nieuw gedefinieerde getallen zijn? Daar gaan wij het in \ het volgende hoofdstuk over hebben." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}] }, Open ]] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["Constructie van de complexe getallen", "Section", CellTags->"H2"], Cell[CellGroupData[{ Cell["Punten in het vlak", "Subsection", CellDingbat->"\[FilledDiamond]", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, CellTags->"H2 D1"], Cell[TextData[{ "Deze constructie is aan Gauss (1799) en Hamilton (1833) te danken.\n\nWe \ gaan eventjes de gedachtenstroom van die grote wiskundigen proberen te \ \"reconstrueren\". Onze bedoeling nu is het getallenstelsel te omschrijven, \ dat een uitbreiding van de re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen is (dat wil zeggen - dat de re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen bevat en waarin de gewone bewerking van optellen en \ vermenigvuldigen van re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen uitgebreid worden op nieuwe getallen maar onveranderd blijven \ voor de re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen), en waarin ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{\(het\ getal\ \ \[ImaginaryI]\ \ bestaat\), ",", " ", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ "dat", " ", "een", " ", "oplossing", " ", "is", " ", "van", " ", "de", " ", "vergelijking", " ", StyleBox[\(x\^2\), FontSlant->"Italic"]}], StyleBox["+", FontSlant->"Italic"], StyleBox["1", FontSlant->"Italic"]}], StyleBox["=", FontSlant->"Italic"], StyleBox[ RowBox[{ StyleBox["0", FontSlant->"Italic"], "."}]]}]}], TraditionalForm]]], "\nWe weten, dat we die oplossing niet onder de re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen moeten zoeken. Als we dat nieuwe stelsel grafisch willen \ voorstellen, moeten we onze \[ImaginaryI] buiten de getallenas zoeken! Laat \ ons het gewone Cartesische co\[ODoubleDot]rdinatenstelsel nemen en de ", StyleBox["x", FontSlant->"Italic"], "-as als de re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le as beschouwen. Het punt ", StyleBox["(0,1)", FontSlant->"Italic"], " noemen we \[ImaginaryI]. Nu gaan we het vermenigvuldigen en optellen \ van de punten in het vlak defini", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "ren rekening houdend met de opgesomde voorwaarden. Elk punt van het vlak \ heeft poolco\[ODoubleDot]rdinaten. De ligging wordt bepaald door zijn afstand \ ", StyleBox["r", FontSlant->"Italic"], " van het punt ", StyleBox["(0,0)", FontSlant->"Italic"], " (straallengte) en het hoek \[CurlyPhi] tussen de straal en het positieve \ deel van de ", StyleBox["x", FontSlant->"Italic"], "-as." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[CellGroupData[{ Cell["\<\ De tekening hieronder toont het duidelijk. Als je in het programmeren ge\ \[IDoubleDot]nteresserd bent, kan je de cel openklikken.\ \>", "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[ \(Clear[lijnen]; \nClear[punt]; \nClear[teksten]; \nClear[complexGetal]; \n\nlijnen[{x_, y_}] := {Line[{{0, 0}, {x, y}}], \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Dashing[{0.05, 0.05}], Line[{{0, y}, {x, y}}], Line[{{x, 0}, {x, y}}]}}; \n punt[{x_, y_}] := {Hue[ .1], PointSize[0.02], Point[{x, y}]}; \n teksten[{x_, y_}] := { Text[FontForm["\<(x,y)\>", {"\", 16}], {x + 0.5, y}], \n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t Text[FontForm["\", {"\", 16}], {0.5\ x, 0.5\ y + 0.3}], \n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t Text[FontForm["\<\[CurlyPhi]\>", {"\", 16}], {0.3, 0.2}], \n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t Text[FontForm["\", {"\", 16}], { 0.5\ x, y + 0.2}], \n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t Text[FontForm["\", {"\", 16}], { x + 0.6, 0.5\ y}]}; \n imagin = {Hue[0], PointSize[0.02], Point[{0, 1}]}; \n\n complexGetal[{x_, y_}] := Show[Graphics[{lijnen[{x, y}], \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ \t\t\t\t\t\t\tpunt[{x, y}], \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ \t\t\t\t\t\t\tteksten[{x, y}], \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ \t\t\t\t\t\t\timagin}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t Axes -> True, AxesLabel -> {"\", "\"}, AspectRatio -> Automatic]]\)], "Input"] }, Open ]], Cell[BoxData[ \(complexGetal[{2, 3}]\)], "Input"], Cell[TextData[{ "De Cartesische co\[ODoubleDot]rdinaten van punt op afstand ", StyleBox["r", FontSlant->"Italic"], " van ", StyleBox["(0,0)", FontSlant->"Italic"], " gezien onder een hoek ", StyleBox["\[CurlyPhi]", FontSize->14], StyleBox[" ", FontSize->14, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], "(dus punt met poolco\[ODoubleDot]rdinaten ", StyleBox["(r,\[CurlyPhi])", FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], " ) zijn ", StyleBox["(r cos\[CurlyPhi], r sin\[CurlyPhi])", FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], ". Dit volgt uit de simpele toepassing van de goniometrie.\nOmgekeerd: \ voor elk punt ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\((x, y)\)\)]], " van het vlak kunnen we de straal en de hoek vinden op basis van de \ formules: " }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, CellTags->"Carthesische coordinaten"], Cell[BoxData[{\(Clear[straal]\), RowBox[{\(Clear[hoek]\), "\n"}], StyleBox[\(straal[x_, y_] := N[Sqrt[x^2 + y^2]]\), "Input"], RowBox[{ \(hoek[x_, y_] := If[x < 0, 1, 0]\ N[Pi] + If[x < 0, \(-1\), 1]\ ArcSin[y/straal[x, y]]\), "\n"}], RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"straal", "[", StyleBox[\(\(-1\), 4\), FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "]"}], ",", RowBox[{"hoek", "[", StyleBox[\(\(-1\), 4\), FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "]"}]}], "}"}]}], "Input", CellTags->"uitrekenen van de rotatiehoek en de homothetieschaal"], Cell[TextData[{ "De formule voor de hoek ziet er een beetje ingewikkeld uit, met de \ clausule \"If\". Het moest zo gedaan worden, omdat de functie ArcSin alleen \ maar waarden van het interval ", StyleBox["[-\[Pi]/2,\[Pi]/2]", FontSlant->"Italic"], " aanneemt. Er is dus een lichte aanpassing nodig, om alle punten van de \ cirkel te kunnen beschrijven." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[TextData[{ "Probeer eens zelf voor een aantal punten hun straal en hoek uit te \ rekenen. Doe dat door de \"rode\" co\[ODoubleDot]rdinaten in \"", StyleBox["{straal[-1,4], hoek[-1,4]}", FontSlant->"Italic"], "\" door de door jezelf gekozen co\[ODoubleDot]rdinaten te vervangen en de \ cel te evalueren." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[TextData[{ "De straal wordt ook ", StyleBox["MODULUS", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " of afstand van een complex getal genoemd en voorgesteld door ", StyleBox["\[VerticalSeparator]", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["z", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\[VerticalSeparator]", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " of ", StyleBox["Abs[z]", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " (absolute waarde van ", StyleBox["z", FontSlant->"Italic"], " - zijn afstand van de oorsprong). De hoek wordt ", StyleBox["ARGUMENT", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " van het complexe getal genoemd. Wij schrijven: ", StyleBox["Arg[z]", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["Vermenigvuldiging", "Subsection", CellDingbat->"\[FilledDiamond]", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, CellTags->"H2 D2"], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ "We willen dat het punt ", StyleBox["(0,1)", FontSlant->"Italic"], " - onze \[ImaginaryI] - vermenigvuldigd met zichzelf, als resultaat ", StyleBox["-1,", FontSlant->"Italic"], " dus het punt ", StyleBox["(-1,0),", FontSlant->"Italic"], " geeft. Laat ons even op de volgende tekening kijken:\n(door de cel open \ te klikken kan je de programmatie bekijken)." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[ \(Show[ Graphics[{{Hue[ .5], PointSize[0.02], Point[{1, 0}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[0], PointSize[0.02], Point[{0, 1}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[0], Text[FontForm["\<\[ImaginaryI]\>", {"\", 20}], { 0.1, 0.95}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[ .1], PointSize[0.02], Point[{\(-1\), 0}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[0], Line[{{0, 0}, {0, 1}}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[ .1], Line[{{0, 0}, {\(-1\), 0}}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[0], Circle[{0, 0}, .1, {0, Pi/2}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[ .1], Circle[{0, 0}, .2, {0, Pi}]}}, \n\t\t\t\t\tAxes -> True, PlotRange -> {{\(-1\), 1}, {0, 1}}, AspectRatio -> Automatic]]\)], "Input"] }, Open ]], Cell[TextData[{ "We merken op dat de hoek tussen de straal door het punt ", StyleBox["(0,1)", FontSlant->"Italic"], " en de positieve richting van de as x door de vermenigvuldiging werd \ verdubbeld. Zou dat niet suggereren om het vermenigvuldigen te defini", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "ren als rotatie rond het punt ", StyleBox["(0,0)", FontSlant->"Italic"], " over de hoek \[CurlyPhi] ? We mogen natuurlijk niet vergeten, dat we \ het vermenigvuldigen van re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen willen ", StyleBox["uitbreiden", FontSize->14, FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ", dus de resultaten voor de re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen moeten onveranderd blijven! Wat de hoek betreft, is dat in \ orde, want die is in geval van re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen altijd nul voor positieve getallen en altijd \[Pi] voor \ negatieve getallen. Maar we zien al dat de rotatie alleen niet volstaat - bij \ re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen worden de lengten van de stralen vermenigvuldigd! Dat \ suggereert al de volgende definitie van de vermenigvuldiging van punten van \ het vlak:" }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left], Cell[TextData[{ StyleBox[ "om twee punten van het vlak te vermenigvuldigen, moeten we de lengten van \ hun stralen met mekaar vermenigvuldigen als re\[EDoubleDot]le getallen en de \ hoeken tussen de ", CellFrame->{{0, 0}, {0, 2}}, FontSize->14, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], StyleBox["stralen en het positieve deel van de ", FontSize->14, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], StyleBox["x", FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], StyleBox["-as moeten we optellen.\n\n", FontSize->14, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(Abs[\(z\_1\) z\_2] = \)\)], FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(Abs[z\_1]\ \)\)], FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`Abs[z\_2]\)], FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[",\n", FontSize->14], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`Arg[\(z\_1\) z\_2]\)], FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\( = Arg[z\_1]\)\)], FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(+Arg[z\_2]\)\)], FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\n", FontSize->14], StyleBox[ "\nVermenigvuldiging zou dus samenstelling van een rotatie en een \ homothetie (", FontSize->14, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], ButtonBox[ "de definitie van homothetie kan je vinden door op dit stukje blauwe tekst \ te klikken", ButtonData:>"definitie van homothetie", ButtonStyle->"Hyperlink"], StyleBox[") zijn.", FontSize->14, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]] }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, CellTags->"terug naar de tekst - van de def. van homothetie"], Cell[TextData[{ "Dit illustreert iets wat je al lang kende: bij het vermenigvuldigen van de \ re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen gelden volgende regels:\npositief x positief = positief \t( ", StyleBox["0+0=0 ", FontSlant->"Italic"], ")\npositief x negatief = negatief \t( ", StyleBox["0+\[Pi]=\[Pi] ", FontSlant->"Italic"], ")\nnegatief x positief = negatief \t( ", StyleBox["\[Pi]+0=\[Pi] ", FontSlant->"Italic"], ")\nnegatief x negatief = positief \t( ", StyleBox["\[Pi]+\[Pi]=2\[Pi]", FontSlant->"Italic"], " - een ge\[ODoubleDot]ri\[EDoubleDot]nteerde hoek van ", StyleBox["2\[Pi]", FontSlant->"Italic"], " op een cirkel is equivalent aan ", StyleBox["0 ", FontSlant->"Italic"], ")." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[TextData[{ StyleBox["Als herinnering: definitie van homothetie", FontVariations->{"Underline"->True}], ": \n", StyleBox["Homothetie", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " ten opzichte van punt ", StyleBox["M ", FontSlant->"Italic"], " en met de verhouding ", StyleBox["k", FontSlant->"Italic"], " (een re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, FontFamily->"Times New Roman"], "el getal verschillend van nul) is de transformatie van het vlak die elke \ punt ", StyleBox["X", FontSlant->"Italic"], " van het vlak op een punt ", StyleBox["X' ", FontSlant->"Italic"], " afbeeldt zodat ", StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(MX'\)\&\[RightArrow]\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" = k ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`MX\&\[RightArrow]\)], FontSlant->"Italic"], ".\n\n[ ", ButtonBox["terug naar de tekst van het notebook", ButtonData:>"terug naar de tekst - van de def. van homothetie", ButtonStyle->"Hyperlink"], " ]" }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, Background->GrayLevel[0.900008], CellTags->"definitie van homothetie"], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ "Hieronder vind je de meetkundige interpretatie van het vermenigvuldigen \ van complexe getallen. Het argument van het getal ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(z\_1\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " (rood aangeduid) wordt opgeteld bij het argument van het getal ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(z\_2\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " (zwart aangeduid) - de straal van het getal ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(z\_2\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " wordt dus geroteerd over de hoek ", StyleBox["Arg[", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`z\_1\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox["]", FontSlant->"Italic"], " rond de oorsprong van het Cartesische stelsel. Daarbij wordt de lengte \ van de straal ", StyleBox["Abs[", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`z\_2\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox["]", FontSlant->"Italic"], " vermenigvuldigd met het positieve getal ", StyleBox["Abs[", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`z\_1\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox["]", FontSlant->"Italic"], ". Na de rotatie wordt dus een homothetie toegepast.\nDat betekent, dat de \ twee driehoeken op de tekening hieronder - de gele [met de hoekpunten ", StyleBox["(0,0)", FontSlant->"Italic"], ", ", StyleBox["(1,0)", FontSlant->"Italic"], " en ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ StyleBox[\(z\_1\), FontSlant->"Italic"], "]"}], TraditionalForm]]], " en de blauwe [met de hoekpunten ", StyleBox["(0,0)", FontSlant->"Italic"], ", ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ RowBox[{ StyleBox[\(z\_2\), FontSlant->"Italic"], " ", "en", " ", StyleBox[\(z\_1\), FontSlant->"Italic"], StyleBox[\(z\_2\), FontSlant->"Italic"]}], "]"}], TraditionalForm]]], " gelijkvormig zijn, omdat:\n\n*\t", StyleBox["hoek ", FontSize->16, FontSlant->"Italic"], StyleBox["[", FontSize->16], StyleBox["(1,0), (0,0), ", FontSize->16, FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\(z\_1]\)\ = \)\)], FontSize->16, FontSlant->"Italic"], StyleBox[" hoek ", FontSize->16, FontSlant->"Italic"], StyleBox["[", FontSize->16], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`z\_2\)], FontSize->16, FontSlant->"Italic"], StyleBox[", (0,0), ", FontSize->16, FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\(z\_1\) z\_2]\)\)], FontSize->16, FontSlant->"Italic"], "\n\n*\t", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`1\/Abs[z\_1]\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox["=", FontSize->16, FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(Abs[z\_2]\/Abs[\(z\_1\) z\_2]\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]], FontSize->16, FontSlant->"Italic"], ".\n\n(door de cel open te klikken kan je de programmatie bekijken)." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[{\(Clear[plaats]\), \(Clear[product]\), RowBox[{\(Clear[tekening]\), "\n"}], RowBox[{ \(plaats[afstand_, hoek_] := {afstand\ Cos[hoek], \ afstand\ Sin[hoek]} \), "\n"}], RowBox[{\(plaats[{afstand_, hoek_}] := plaats[afstand, hoek]\), "\n"}], RowBox[{ \(product[{{getal1_, hoek1_}, {getal2_, hoek2_}}] := \n\t\t plaats[getal1\ \ getal2, hoek1 + hoek2]\), "\n"}], RowBox[{ \(tekening[r1_, \[CurlyPhi]1_, r2_, \[CurlyPhi]2_]\), ":=", "\n", "\t", RowBox[{"Show", "[", RowBox[{ RowBox[{"Graphics", "[", "\n", "\t\t\t", RowBox[{"{", RowBox[{ \({Hue[0.15], Polygon[{plaats[r1, \[CurlyPhi]1], {0, 0}, plaats[1, 0]}]} \), ",", "\n", "\t\t\t ", \({Hue[0.5], Polygon[{ plaats[r1\ r2, \[CurlyPhi]1 + \[CurlyPhi]2], {0, 0}, plaats[r2, \[CurlyPhi]2]}]}\), ",", "\n", "\t\t\t ", \(Point[product[{{r1, \[CurlyPhi]1}, {r2, \[CurlyPhi]2}}]]\), ",", "\n", StyleBox[ RowBox[{"\t\t\t", StyleBox["\t", FontColor->GrayLevel[0.666667]]}]], StyleBox[ \(Text["\<\!\(z\_1\)\!\(z\_2\)\>", product[{{r1, \[CurlyPhi]1}, {r2, \[CurlyPhi]2}}] + {0.3, 0.3}]\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t ", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[\(Point[plaats[r1, \[CurlyPhi]1]]\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t \t", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \(Text["\<\!\(z\_1\)\>", plaats[r1, \[CurlyPhi]1] + {0.3, 0.3}]\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t ", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[\(Point[plaats[r2, \[CurlyPhi]2]]\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t\t\t", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \(Text["\<\!\(z\_2\)\>", plaats[r2, \[CurlyPhi]2] + {0.3, 0.3}]\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t ", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \({Hue[0], Circle[{0, 0}, .5, {0, \[CurlyPhi]1}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t ", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \({Hue[0], Line[{{0, 0}, plaats[r1, \[CurlyPhi]1]}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t ", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[\({Circle[{0, 0}, .7, {0, \[CurlyPhi]2}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t ", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[\({Line[{{0, 0}, plaats[r2, \[CurlyPhi]2]}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t ", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \({Hue[0], Circle[{0, 0}, .9, {\[CurlyPhi]2, \[CurlyPhi]1 + \[CurlyPhi]2}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t\t\t", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \({Hue[0], Line[{{0, 0}, product[{{r1, \[CurlyPhi]1}, {r2, \[CurlyPhi]2}}]}]} \), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t ", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \({Text[ FontForm[ "\<\!\(z\_1\)=(\!\(r\_1\),\!\(\[CurlyPhi]\_1\))\>", { "\", 18}], {1, \(-2\)}, {\(-1\), 0}]} \), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t ", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \({Text[ FontForm[ "\<\!\(z\_2\)=(\!\(r\_2\),\!\(\[CurlyPhi]\_2\))\>", { "\", 18}], {1, \(-3\)}, {\(-1\), 0}]} \), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t ", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \({Text[ FontForm[ "\<\!\(z\_1\)\!\(z\_2\)=(\!\(r\_1\)\!\(r\_2\),\!\(\ \[CurlyPhi]\_1\)+\!\(\[CurlyPhi]\_2\))\>", {"\", 18}], {1, \(-4\)}, {\(-1\), 0}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]]}], StyleBox["}", FontColor->GrayLevel[0.666667]]}], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t ", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["]", FontColor->GrayLevel[0.666667]]}], ",", "\n", "\t ", \(Axes -> True\), ",", \(AspectRatio -> Automatic\), ",", \(PlotRange -> {{\(-5\), 10}, {\(-5\), 5}}\)}], "]"}]}]}], "Input"] }, Open ]], Cell[BoxData[ \(tekening[3, Pi/3, 1.5, 2\ Pi/7]\)], "Input"], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ "We zien dus de analogie met het vermenigvuldigen van re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen. De stelling van Thales vertelt ons dat we ook in de \"re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le\" situatie met gelijkvormige driehoeken te maken hebben. Toon op de \ tekening hieronder, welke driehoeken dat zijn en waarom ze gelijkvormig zijn.\ \n\nJe kan ook een beetje spelen - neem andere getallen (vervang de getallen \ in \"", StyleBox["maal[3,2]", FontSlant->"Italic"], "\" door de zelf gekozen re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen) en kijk of je nog gelijkvormige driehoeken krijgt!\n(door de \ cel open te klikken kan je de programmatie bekijken)." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[{ \(Clear[maal]\n\), \(maal[a_, b_] := Show[Graphics[{{Hue[ .5], PointSize[0.04], Point[{a, 0}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{ Hue[ .1], PointSize[0.04], Point[{b, 0}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{ Hue[0], PointSize[0.04], Point[{a\ b, 0}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{ Hue[ .7], PointSize[0.04], Point[{0, 1}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{ Hue[ .1], PointSize[0.04], Point[{0, b}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{ Hue[ .3], Line[{{a, 0}, {0, 1}}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{ Hue[ .3], Line[{{a\ b, 0}, {0, b}}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{ Hue[ .1], Circle[{0, 0}, Abs[b], {Arg[b], Arg[b] + Pi/2}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{ Text[FontForm["\", {"\", 16}], {a, \(-0.2\)}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{ Text[FontForm["\", {"\", 16}], {b, \(-0.2\)}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{ Text[FontForm["\", {"\", 16}], {a\ b, \(-0.2\)}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{ Text[FontForm["\", {"\", 16}], {\(-0.3\), b}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{ Text[FontForm["\<1\>", {"\", 16}], {\(-0.3\), 1}]}\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ \t}], \n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ Axes -> True, AspectRatio -> Automatic, Ticks -> None]\)}], "Input"] }, Open ]], Cell[BoxData[ \(maal[3, 2]\)], "Input"], Cell[TextData[{ "Alle punten in het vlak hebben, behalve poolco\[ODoubleDot]rdinaten, ook \ gewone Cartesische co\[ODoubleDot]rdinaten. ", ButtonBox["Klik hierop om de formule voor het omrekenen terug te vinden.", ButtonData:>"Carthesische coordinaten", ButtonStyle->"Hyperlink"] }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[TextData[{ "Nu gaan we trachten de formule voor het vermenigvuldigen van complexe \ getallen in Cartesische co\[ODoubleDot]rdinaten uit te drukken.\nTwee \ getallen met poolco\[ODoubleDot]rdinaten ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ StyleBox[\(z\_1 = \((r\_1, \[CurlyPhi]\_1)\)\), FontSlant->"Italic"], " "}], TraditionalForm]]], ", ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(z\_2 = \((r\_2, \[CurlyPhi]\_2)\)\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " hebben dus volgende Cartesische co\[ODoubleDot]rdinaten:\n\n", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ StyleBox[\(z\_1 = \((a\_1, b\_1)\)\), FontSlant->"Italic"], StyleBox[",", FontSlant->"Italic"], " ", RowBox[{ RowBox[{"waar", " ", StyleBox[\(a\_1\), FontSlant->"Italic"]}], StyleBox["=", FontSlant->"Italic"], StyleBox[\(\(r\_1\) cos[\[CurlyPhi]\_1]\), FontSlant->"Italic"]}], StyleBox[",", FontSlant->"Italic"], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], StyleBox[\(b\_1 = \(r\_1\) \(sin[\[CurlyPhi]\_1\)\), FontSlant->"Italic"]}], TraditionalForm]]], "],\n", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{\(z\_2 = \((a\_2, b\_2)\)\), ",", " ", RowBox[{ RowBox[{"waar", " ", StyleBox[\(a\_2\), FontSlant->"Italic"]}], StyleBox["=", FontSlant->"Italic"], StyleBox[\(\(r\_2\) cos[\[CurlyPhi]\_2]\), FontSlant->"Italic"]}], StyleBox[",", FontSlant->"Italic"], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], StyleBox[\(b\_2 = \(r\_2\) \(sin[\[CurlyPhi]\_2\)\), FontSlant->"Italic"]}], TraditionalForm]]], "].\n\nWe weten, dat ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\(z\_1\) z\_2 = \)\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox["(", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(r\_1\) r\_2\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[", ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\[CurlyPhi]\_1 + \[CurlyPhi]\_2\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[")", FontSlant->"Italic"], ". De goniometrische formules:" }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[ \(TrigExpand[r1\ r2\ Cos[\[CurlyPhi]1 + \[CurlyPhi]2]]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(TrigExpand[r1\ r2\ Sin[\[CurlyPhi]1 + \[CurlyPhi]2]]\)], "Input"], Cell[TextData[{ "laten ons toe om het gezochte verband tussen de Cartesische \ co\[ODoubleDot]rdinaten van ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{" ", StyleBox[\(\(z\_1\) z\_2\), FontSlant->"Italic"]}], TraditionalForm]]], " met de Cartesische co\[ODoubleDot]rdinaten van ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ RowBox[{ StyleBox[\(z\_1\), FontSlant->"Italic"], StyleBox[ RowBox[{ StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], " "}]], "en", " ", StyleBox[\(z\_2\), FontSlant->"Italic"]}], " "}], TraditionalForm]]], "in te zien. We hebben namelijk:\n\n", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{" ", RowBox[{ StyleBox[\(\(z\_1\) z\_2 = \((a, b)\)\), FontSlant->"Italic"], ","}]}], TraditionalForm]]], " waar:\n", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{" ", RowBox[{ StyleBox["a", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["=", FontSlant->"Italic"], StyleBox[ \(\(r\_1\) \(r\_2\) cos[\[CurlyPhi]\_1 + \[CurlyPhi]\_2] = \(\(r\_1\) r\_2\ cos[\[CurlyPhi]\_1]\ \ cos[\[CurlyPhi]\_2] - \(r\_1\) r\_2\ sin[\[CurlyPhi]\_1]\ sin[\[CurlyPhi]\_2] = \)\), FontSlant->"Italic"]}], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]]}], TraditionalForm]]], Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\(a\_1\) a\_2 - \(b\_1\) b\_2\), FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], TraditionalForm]]], "\n", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ StyleBox["b", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["=", FontSlant->"Italic"], StyleBox[ \(\(r\_1\) \(r\_2\) sin[\[CurlyPhi]\_1 + \[CurlyPhi]\_2] = \(\(r\_1\) r\_2\ cos[\[CurlyPhi]\_2]\ \ sin[\[CurlyPhi]\_1] + \(r\_1\) r\_2\ cos[\[CurlyPhi]\_1]\ sin[\[CurlyPhi]\_2] = \)\), FontSlant->"Italic"]}], TraditionalForm]]], Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\(a\_2\) b\_1 + \(a\_1\) b\_2\), FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], TraditionalForm]]], "\n \nAnderszijds is het heel \ gemakkelijk om op te merken dat als we nu het vlak als tweedimensionale \ ruimte behandelen met de basis ", StyleBox["{1,\[ImaginaryI]}", FontSlant->"Italic"], ", we alle complexe getallen kunnen voorstellen als lineaire combinatie \ van ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], " en \[ImaginaryI] met re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, FontFamily->"Times New Roman"], "le co\[EDoubleDot]ffici\[EDoubleDot]nten - het wordt dus:\n\n", StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`z\_1 = \((a\_1, b\_1)\)\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox["=", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`a\_1 + b\_1\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox["\[ImaginaryI]", FontSlant->"Italic"], "\n ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(z\_2 = \((a\_2, b\_2)\)\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], StyleBox["=", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`a\_2 + b\_2\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox["\[ImaginaryI]", FontSlant->"Italic"], "\n \nNu, rekening houdende met het feit dat ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\[ImaginaryI]\^2 = \(-1\)\)], FontSlant->"Italic"], " (ZO hebben we tenslotte onze vermenigvuldiging gedefinieerd!), kunnen we \ ook het produkt ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{" ", StyleBox[\(\(z\_1\) z\_2\), FontSlant->"Italic"]}], TraditionalForm]]], " uitrekenen:" }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[ \(Expand[\((a1 + b1\ \[ImaginaryI])\)\ \((a2 + b2\ \[ImaginaryI])\)]\)], "Input"], Cell[TextData[{ "dus:\n", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`z\_1\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`z\_2\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" = (", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`a\_1 + b\_1\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox["\[ImaginaryI]) (", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`a\_2 + b\_2\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox["\[ImaginaryI]) = ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(a\_1\) a\_2\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" + ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(a\_1\) b\_2\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" \[ImaginaryI] + ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(a\_2\) b\_1\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox["\[ImaginaryI] + ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(b\_1\) b\_2\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\[ImaginaryI]\^2\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" = (", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\(a\_1\) a\_2 - \(b\_1\) b\_2\), FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], TraditionalForm]], FontSlant->"Italic"], StyleBox[") + \[ImaginaryI] (", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\(a\_2\) b\_1 + \(a\_1\) b\_2\), FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], TraditionalForm]], FontSlant->"Italic"], StyleBox[")", FontSlant->"Italic"], ".\n \nAls oefening, reken je voor elke van de drie voorstellingen van de \ complexe getallen uit, of ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\[ImaginaryI]\^2\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " werkelijk aan ", StyleBox["-1", FontSlant->"Italic"], " gelijk is ( ", StyleBox["\[ImaginaryI] =(1,", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\[Pi]\/2\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[")", FontSlant->"Italic"], " in de poolco\[ODoubleDot]rdinaten, ", StyleBox["\[ImaginaryI] =(0,1)", FontSlant->"Italic"], " in de Cartesische co\[ODoubleDot]rdinaten)." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[TextData[{ StyleBox["CONCLUSIE", FontSize->16, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], "\nEen complex getal kan op volgende equivalente manieren voorgesteld \ worden:\n\n", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(1. z\ = \ \((r, \[CurlyPhi])\)\), FontSize->18, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], TraditionalForm]]], " - poolco\[ODoubleDot]rdinaten. Beschrijving door afstand van ", StyleBox["(0,0)", FontSlant->"Italic"], " en de hoek tussen de straal en het positieve deel van de ", StyleBox["x", FontSlant->"Italic"], "-as,\n", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ RowBox[{"2.", " ", StyleBox["z", FontSlant->"Plain"]}], StyleBox[" ", FontSlant->"Plain"], StyleBox["=", FontSlant->"Plain"], StyleBox[" ", FontSlant->"Plain"], StyleBox[\((a, b)\), FontSlant->"Plain"]}], TraditionalForm]], FontSize->18, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], " - Cartesische co\[ODoubleDot]rdinaten ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ StyleBox[\(a = r\ cos\[CurlyPhi]\), FontWeight->"Bold"], ",", " ", StyleBox[\(b = r\ sin\[CurlyPhi]\), FontWeight->"Bold"]}], TraditionalForm]]], " voor complexe getallen als elementen van het vlak ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\[DoubleStruckCapitalR]\^2\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], ".\n", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ RowBox[{"3.", StyleBox["z", FontSlant->"Plain"]}], StyleBox[" ", FontSlant->"Plain"], StyleBox["=", FontSlant->"Plain"], StyleBox[" ", FontSlant->"Plain"], StyleBox[\(a + b\ \[ImaginaryI]\), FontSlant->"Plain"]}], TraditionalForm]], FontSize->18, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], " - na identificatie van de standaardbasis met de punten ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], " en ", StyleBox["\[ImaginaryI] ", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], ".\n\nVoor elke van die voorstellingen kunnen we een formule voor het \ VERMENIGVULDIGEN uitdrukken:\n\n", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{\(Verm(1)\), ".", " ", StyleBox[\((r\_1, \[CurlyPhi]\_1)\), FontSlant->"Italic"]}], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], StyleBox[\((r\_2, \[CurlyPhi]\_2)\), FontSlant->"Italic"]}], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["=", FontSlant->"Italic"], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], StyleBox[\((\(r\_1\) r\_2, \ \[CurlyPhi]\_1 + \ \[CurlyPhi]\_2)\), FontSlant->"Italic"]}], TraditionalForm]], FontSize->18, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], " - stralen worden vermenigvuldigd, hoeken opgeteld,\n", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{\(Verm(3)\), ".", " ", StyleBox[\((a\_1\), FontSlant->"Italic"]}], TraditionalForm]], FontSize->18, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], StyleBox["+ ", FontSize->18, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\(b\_1\) \[ImaginaryI])\)\ (\)], FontSize->18, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(a\_2 + \ \(b\_2\) \[ImaginaryI])\)\ = \ (\)], FontSize->18, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\(\(a\_1\) a\_2\ - \)\ \)\)], FontSize->18, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(b\_1\) b\_2\)], FontSize->18, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], StyleBox[") + \[ImaginaryI] (", FontSize->18, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(a\_2\) b\_1\)], FontSize->18, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(+\ a\_1\) b\_2\)], FontSize->18, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], StyleBox[")", FontSize->18, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], " - formule voor de derde gedaante." }], "Text", CellFrame->False, CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, Background->GrayLevel[0.900008]], Cell[TextData[{ "Formule voor de Cartesische co\[ODoubleDot]rdinaten is:\n", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{\(Verm(2)\), ".", " ", StyleBox[\((a\_1, \ b\_1)\), FontSlant->"Italic"]}], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], StyleBox[\((a\_2, \ b\_2)\), FontSlant->"Italic"]}], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["=", FontSlant->"Italic"], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], StyleBox[\((\(a\_1\) a\_2 - \(b\_1\) b\_2\), FontSlant->"Italic"]}], TraditionalForm]], FontSize->14, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], StyleBox[", ", FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\(a\_2\) b\_1 + \(a\_1\) b\_2)\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]], FontSize->14, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]] }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[TextData[{ StyleBox[ "Een belangrijke opmerking: om de notatie van de goniometrische gedaante \ van een complex getal ", CellFrame->False, Background->None], Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ \(z\ = \ r\ \((cos\[CurlyPhi]\ + \ \[ImaginaryI]\ sin\[CurlyPhi])\)\), FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], TraditionalForm]], CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[ " een beetje \"in te korten\", wordt er een speciaal symbool gebruikt voor \ ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["cos\[CurlyPhi] + \[ImaginaryI] sin\[CurlyPhi]", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[ ". Aangezien de hoek, waarvan we de sinus en cosinus nemen, dezelfde is, \ kunnen we ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["cos\[CurlyPhi] + \[ImaginaryI] sin\[CurlyPhi]", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[ " tot \[EAcute]\[EAcute]n symbool samentrekken. Men gebruikt daarvoor het \ symbool ", CellFrame->False, Background->None], Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\[ExponentialE]\^\(\[ImaginaryI]\ \[CurlyPhi]\)\), FontSize->18, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], TraditionalForm]], CellFrame->False, Background->None], StyleBox[ ". Voorlopig gaan we dat gewoon als symbool behandelen - als iets wat ons \ leven gemakkelijk maakt. We vervangen immers ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["10", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[" karakters door ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["3", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[" karakters - serieuze besparing bij het typen", CellFrame->False, Background->None], "!", StyleBox[ " Later gaan we zien hoe praktisch deze notatie is in sommige toepassingen. \ Jullie gaan ook zien - indien jullie verder wiskunde willen studeren - dat \ het geen toeval is, dat men juist dat symbool (dat ons toch zo sterk doet \ denken aan de exponenti\[EDoubleDot]le functie", CellFrame->False, Background->None], "!", StyleBox[" ", CellFrame->False, Background->None], ButtonBox[ "Klik hierop om iets meer over de exponentiele functie te vinden.", ButtonData:>"exponentiele functie", ButtonStyle->"Hyperlink"], StyleBox[ ") gebruikt. Voorlopig gaan we ons tevreden stellen met de vierde mogelijke \ notatie van de complexe getallen:", CellFrame->False, Background->None] }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, CellTags->"wat symboliseert e tot de macht iy"], Cell[TextData[{ StyleBox["4.", FontSize->24, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{" ", StyleBox[ \(z\ = r\ \[ExponentialE]\^\(\[ImaginaryI]\ \[CurlyPhi]\)\), FontSlant->"Italic"]}], TraditionalForm]], FontSize->24, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], "\n\nEn de formule voor het vermenigvuldigen kunnen we (op basis van de \ formule voor de goniometrische voorstelling) als volgt opschrijven:\n\n", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{\(Verm(4)\), ".", StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], StyleBox[\(r\_1\), FontSlant->"Italic"]}], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"], StyleBox[\(\[ExponentialE]\^\(\[ImaginaryI]\ \[CurlyPhi]\_1\)\), FontSlant->"Italic"]}], StyleBox[" ", FontSlant->"Italic"]}], TraditionalForm]], FontSize->24, FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm \`r\_2\ \[ExponentialE]\^\(\[ImaginaryI]\ \[CurlyPhi]\_2\)\ = \ \(r\_\(1\ \)\) r\_2\ \[ExponentialE]\^\(\[ImaginaryI]\ \((\[CurlyPhi]\_1 + \[CurlyPhi]\_2)\)\)\)], FontSize->24, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1]], "\n \nBelangrijke opmerking voor de ingenieurs:", StyleBox["\n", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "Deze notatie wordt veel gebruikt in de elektronika - bij de beschrijving \ van de wisselstroom." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, Background->GrayLevel[0.900008]], Cell[TextData[{ "Opgave voor de studenten:\nKijk zelf na dat de definitie van het \ vermenigvuldigen van complexe getallen (die de re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen omvatten, nl. alle getallen type ", StyleBox["(a,0)", FontSlant->"Italic"], " ) opnieuw het product van re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen oplevert. Dus - de nieuwe vermenigvuldiging is een uitbreiding \ van de vermenigvuldiging van re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ "Nu kan je zelf een beetje oefenen: vermenigvuldigen met een gegeven \ complex getal ", StyleBox["(2, 0.9)", FontSlant->"Italic"], ", het gele punt. Het punt dat jij kiest (door de getallen in \"", StyleBox["maalCartesisch[-3,4]", FontSlant->"Italic"], "\" door de zelfgekozen getallen-co\[ODoubleDot]rdinaten te vervangen) is \ blauw, het resultaat van het vermenigvuldigen is groen.\nMerk op dat de hoek \ tussen de blauwe en de groene straal altijd dezelfde is (gelijk aan ", StyleBox["Arg[(2,0.9)]", FontSlant->"Italic"], " - zie de twee rode bogen op de tekening) - ongeacht de keuze van co\ \[ODoubleDot]rdinaten! Ook de verhouding tussen de lengte van de straal van \ het product (de \"groene\" straal dus) en de lengte van de straal van het \ door jou gekozen getal (de \"blauwe\" straal) is constant, gelijk aan ", StyleBox["Abs[(2,0.9)]=2.19317", FontSlant->"Italic"], " - zie berekening in de gesloten cel hieronder. Dat wil zeggen, dat de \ \"groene\" straal altijd een beetje meer dan twee maal langer is dan de \ \"blauwe\" straal - ook ongeacht de co\[ODoubleDot]rdinatenkeuze!\nJe ziet \ dus duidelijk dat het vermenigvuldigen met een vast complex getal de \ samenstelling is van een rotatie over zijn argument (tegen de klokwijzers) en \ homothetie met de verhouding gelijk aan zijn modulus.\n(door de cel open te \ klikken kan je de programmatie bekijken)." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[ \(Sqrt[2^2 + \((0.9)\)^2]\)], "Input"], Cell[BoxData[{ \(Clear[g2, maalCartesisch]; \n\n g2[x_, y_] := {{Hue[ .3], PointSize[0.03], Point[{2\ x - .9\ y, 2\ y + .9\ x}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[ .3], Line[{{0, 0}, {2\ x - .9\ y, 2\ y + .9\ x}}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[ .1], PointSize[0.03], Point[{2, .9}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[ .1], Line[{{0, 0}, {2, .9}}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[0], Circle[{0, 0}, 1.5, {0, ArcSin[ .9/Sqrt[2^2 + \(( .9)\)^2]]}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[ .5], PointSize[0.03], Point[{x, y}]}, \n \t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t{Hue[ .5], Line[{{0, 0}, {x, y}}]}, \n \t\t{Hue[0], Circle[{0, 0}, 1.5, {If[x < 0, 1, 0]\ N[Pi] + If[x < 0, \(-1\), 1]\ ArcSin[y/Sqrt[x^2 + y^2]], If[2\ x - .9\ y < 0, 1, 0]\ N[Pi] + If[2\ x - .9\ y < 0, \(-1\), 1]\ ArcSin[\((2\ y + .9\ x)\)/ Sqrt[\((2\ x - .9\ y)\)^2 + \((2\ y + .9\ x)\)^2]]}]} \n\t}\), \(\tmaalCartesisch[x_, y_] := \t Show[Graphics[g2[x, y]], \n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ Axes -> True, AspectRatio -> Automatic, PlotRange -> {{\(-10\), 10}, {\(-10\), 10}}]\)}], "Input"] }, Open ]], Cell[BoxData[ \(maalCartesisch[\(-3\), 4]\)], "Input"] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["Het optellen", "Subsection", CellDingbat->"\[FilledDiamond]", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, CellTags->"H2 D3"], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ "Nu we het vermenigvuldigen van de complexe getallen gedefinieerd hebben, \ gaan we door naar het optellen. De som van de complexe getallen gaan we \ gewoon definieren als de som van vectoren (de parallellogram-regel). Zie \ tekening.\n", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ \(\((a\_1, b\_1)\)\ + \ \((a\_2, \ b\_2)\)\ = \ \((a\_1 + \ a\_2, \ b\_1 + \ b\_2)\)\), FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], TraditionalForm]], FontSlant->"Italic"], " - optellen van co\[ODoubleDot]rdinaten - re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen dus - bij mekaar.\n(door de cel open te klikken kan je de \ programmatie bekijken)." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[{ RowBox[{"\n", \(Clear[tekeningPlus]\), "\n"}], RowBox[{\(tekeningPlus[a1_, b1_, a2_, b2_]\), ":=", "\n", "\t", RowBox[{"Show", "[", RowBox[{ RowBox[{"Graphics", "[", RowBox[{"{", RowBox[{ \({Hue[ .5], PointSize[0.04], Point[{a1, b1}]}\), ",", "\n", "\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", \({Hue[ .1], PointSize[0.04], Point[{a2, b2}]}\), ",", "\n", "\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", \({Hue[0], PointSize[0.04], Point[{0, 0}]}\), ",", "\n", "\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", \({Hue[ .3], PointSize[0.04], Point[{a1 + a2, b1 + b2}]}\), ",", "\n", "\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", StyleBox[\({Hue[ .7], Line[{{0, 0}, {a1, b1}}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[\({Hue[ .9], Line[{{0, 0}, {a2, b2}}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \({Hue[ .9], Line[{{a1, b1}, {a1 + a2, b1 + b2}}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \({Hue[ .7], Line[{{a2, b2}, {a1 + a2, b1 + b2}}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[\({Hue[0], Line[{{0, 0}, {a1 + a2, b1 + b2}}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \({Text[ FontForm["\<\!\(z\_1\)\>", {"\", 16}], { a1 + 0.2, b1 + 0.2}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \({Text[ FontForm["\<\!\(z\_2\)\>", {"\", 16}], { a2 + 0.2, b2 + 0.2}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[",", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox[ \({Text[ FontForm[ "\<\!\(z\_1\)+\!\(z\_2\)\>", {"\", 16}], {a1 + a2 + 0.2, b1 + b2 + 0.2}]}\), FontColor->GrayLevel[0.666667]]}], StyleBox["\n", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", FontColor->GrayLevel[0.666667]], StyleBox["}", FontColor->GrayLevel[0.666667]]}], StyleBox["]", FontColor->GrayLevel[0.666667]]}], ",", "\n", "\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t ", \(Axes -> True\), ",", \(AspectRatio -> Automatic\)}], "]"}]}]}], "Input"] }, Open ]], Cell[BoxData[ \(tekeningPlus[\(-1\), 2, \(-8\), 2]\)], "Input"], Cell[TextData[{ "Het optellen van de re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen verandert op die manier natuurlijk niet.\nOpgave voor de \ studenten:\nKijk zelf na dat de definitie van het optellen van complexe \ getallen (die de re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen omvatten - alle getallen type ", StyleBox["(a,0)", FontSlant->"Italic"], " ) opnieuw de som van re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen oplevert. Dus - de nieuwe optelling is een uitbreiding van de \ optelling van re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le getallen." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}] }, Open ]] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["\<\ Vergelijking van de structuur van de complexe getallen en re\[EDoubleDot]le \ getallen - het lichaam.\ \>", "Section", CellTags->"H3"], Cell["\<\ In het vorige hoofdstuk hebben we kennis gemaakt met het begrip \"complex \ getal\" en hebben we verschillende gedaanten van complexe getallen leren \ kennen. Complexe getallen kunnen voorgesteld worden als punten van het vlak - \ met het optellen als vectoren (wat op het optellen van \ co\[ODoubleDot]rdinaten neerkomt) en het vermenigvuldigen als samenstelling \ van een rotatie en homothetie. Jullie hebben in beide gevallen gezien, dat de \ bewerkingen die we gedefinieerd hebben voor complexe getallen, uitbreidingen \ zijn van de analoge operaties voor de re\[EDoubleDot]le getallen. Maar... het \ zou leuk zijn om te weten of ze ook dezelfde eigenschappen hebben als de \ bewerkingen op re\[EDoubleDot]le getallen, die op zich een lichaam vormen. Zoals iedereen weet, zijn dat volgende eigenschappen:\ \>", "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, CellTags->"terug naar de tekst - van de def. van LICHAAM"], Cell[TextData[{ "1. Eigenschappen van het optellen:\n* ", StyleBox["commutativiteit", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ": ", StyleBox["\[ForAll]a,b\[Element]\[DoubleStruckCapitalR] ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a + b = b + a", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "\n* ", StyleBox["associativiteit", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ": ", StyleBox[" \[ForAll]a,b,c\[Element]\[DoubleStruckCapitalR] ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a + (b + c) = (a + b) + c", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]] }], "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[TextData[{ "2. Eigenschappen van de vermenigvuldiging:\n* ", StyleBox["commutativiteit", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ": ", StyleBox[" \[ForAll]a,b\[Element]\[DoubleStruckCapitalR] ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a b = b a", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "\n* ", StyleBox["associativiteit", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ": ", StyleBox["\[ForAll]a,b,c\[Element]\[DoubleStruckCapitalR] ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a (b c) = (a b) c", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]] }], "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[TextData[{ "3. Eigenschappen die de twee bewerkingen verbinden:\n* ", StyleBox["distributiviteit", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " van het vermenigvuldigen ten opzichte van het optellen: ", StyleBox["\[ForAll]a,b,c\[Element]\[DoubleStruckCapitalR] ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a (b + c) = a b + a c", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]] }], "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[TextData[{ "We zullen nagaan of hetzelfde geldt voor complexe getallen - arithmetisch \ en grafisch. Dat is evident op basis van de definitie zelf en van de \ eigenschappen van de re\[EDoubleDot]le getallen. We checken dat even met \ behulp van de \"", StyleBox["Mathematica", FontSlant->"Italic"], "\"-functie \"ComplexExpand\". In het huidig tijdperk worden we dikwijls \ aan genade of ongenade van ons software overgeleverd. We gaan uiteraard van \ uit dat \"Mathematica\" feilloos wiskunde kent. Als je ze toch niet betrouwt, \ kan je alles zelf uitreken - in dit geval heb je nog ten minste de keuze..." }], "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[ \(ComplexExpand[a1 + b1\ \[ImaginaryI] + a2 + b2\ \[ImaginaryI]]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(ComplexExpand[a2 + b2\ \[ImaginaryI] + a1 + b1\ \[ImaginaryI]]\)], "Input"], Cell["\<\ We krijgen twee keer hetzelfde resultaat. Het optellen van complexe getallen \ is commutatief.\ \>", "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[ \(ComplexExpand[ a1 + b1\ \[ImaginaryI] + \((a2 + b2\ \[ImaginaryI] + a3 + b3\ \[ImaginaryI])\)]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(ComplexExpand[ \((a1 + b1\ \[ImaginaryI] + a2 + b2\ \[ImaginaryI])\) + a3 + b3\ \[ImaginaryI]]\)], "Input"], Cell["\<\ We krijgen twee keer hetzelfde resultaat. Het optellen van complexe getallen \ is associatief.\ \>", "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[ \(ComplexExpand[ \((a1 + b1\ \[ImaginaryI])\)\ \((a2 + b2\ \[ImaginaryI])\)]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(ComplexExpand[ \((a2 + b2\ \[ImaginaryI])\)\ \((a1 + b1\ \[ImaginaryI])\)]\)], "Input"], Cell["\<\ We krijgen... weeral twee keer hetzelfde resultaat. Het vermenigvuldigen van \ complexe getallen is commutatief.\ \>", "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[ \(ComplexExpand[ \((a1 + b1\ \[ImaginaryI])\)\ \((\((a2 + b2\ \[ImaginaryI])\)\ \((a3 + b3\ \[ImaginaryI])\))\)]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(ComplexExpand[ \((\((a1 + b1\ \[ImaginaryI])\)\ \((a2 + b2\ \[ImaginaryI])\))\)\ \((a3 + b3\ \[ImaginaryI])\)]\)], "Input"], Cell["\<\ Hoe zou dat anders... - we krijgen weeral twee keer hetzelfde resultaat! Het \ begint al echt een beetje monotoon te worden. En de verwachte conclusie: Het \ vermenigvuldigen van complexe getallen is assotiatief.\ \>", "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[ \(ComplexExpand[ \((a1 + b1\ \[ImaginaryI])\)\ \((a2 + b2\ \[ImaginaryI] + a3 + b3\ \[ImaginaryI])\)]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(ComplexExpand[ \((a1 + b1\ \[ImaginaryI])\)\ \((a2 + b2\ \[ImaginaryI])\) + \((a1 + b1\ \[ImaginaryI])\)\ \((a3 + b3\ \[ImaginaryI])\)]\)], "Input"], Cell[TextData[{ "En? Kan je zelf raden wat het resultaat is? Natuurlijk kan je dat! [voor \ het zekerste - het antwoord voor de meest onzekere onder ons: De \ distributiviteit geldt ook voor complexe getallen :-) ]\n\nProbeer dat ook \ grafisch aan te tonen. ", ButtonBox["Door hierop te klikken vind je de oplossing van de opgave.", ButtonData:>"grafische voorstelling van de wetten voor+ enx", ButtonStyle->"Hyperlink"] }], "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, CellTags->"terug naar de tekst - van de grafische oplossing"], Cell[TextData[{ StyleBox["LICHAAM", FontSize->14, FontWeight->"Bold", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "\n\n", StyleBox["( M ; + , ", FontSlant->"Italic"], "x", StyleBox[" , ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["0", FontWeight->"Bold", FontSlant->"Italic"], StyleBox[" , ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["1", FontWeight->"Bold", FontSlant->"Italic"], StyleBox[" )", FontSlant->"Italic"], " ", StyleBox["[ een verzameling ", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["M", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" met twee bewerkingen: +", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" : M ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" M \[RightArrow] M", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" (plus) en x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" : M ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" M \[RightArrow] M", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" (maal) en met twee neutrale elementen tov die bewerkingen ]", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " heet lichaam als:\n1. Plus is ", StyleBox["commutatief", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ", dwz\t\t\t\t\t\t", StyleBox["\[ForAll]a,b\[Element]M ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a + b = b + a", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\n", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "2. Plus is ", StyleBox["associatief", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ", dwz\t\t\t\t\t\t", StyleBox["\[ForAll]a,b,c\[Element]M ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a + (b + c) = (a + b) + c", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "\n3. ", StyleBox["0", FontSlant->"Italic"], " is het ", StyleBox["neutrale element tov de bewerking \"", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["+", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\"", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ", dwz\t\t", StyleBox["\[ForAll]a\[Element]M ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a + 0 = a", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "\n4. Elk element van ", StyleBox["M", FontSlant->"Italic"], " heeft zijn ", StyleBox["inverse tov plus", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " in ", StyleBox["M", FontSlant->"Italic"], ", dwz \t", StyleBox["\[ForAll]a\[Element]M \[Exists]a'\[Element]M ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a + a' = 0", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "\n5. Maal is ", StyleBox["commutatief", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ", dwz\t\t\t\t\t\t", StyleBox["\[ForAll]a,b\[Element]M ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" b = b ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" a", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\n", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "6. Maal is ", StyleBox["associatief", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ", dwz\t\t\t\t\t\t", StyleBox["\[ForAll]a,b,c\[Element]M ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" (b ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" c) = (a ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" b) ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" c", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "\n7. ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], " is het ", StyleBox["neutrale element tov de bewerking \"x\"", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ", dwz\t\t", StyleBox["\[ForAll]a\[Element]M ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" 1 = a", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "\n8. Elk verschillend van nul element van ", StyleBox["M", FontSlant->"Italic"], " heeft zijn ", StyleBox["inverse tov maal", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " in ", StyleBox[ "M, dwz\n\t\t\[ForAll]a\[Element]M [ a \[NotEqual] 0 \[DoubleRightArrow] \ (\[Exists]a''\[Element]M ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" a'' = 1", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[") ]", FontSlant->"Italic"], "\n9. Maal is ", StyleBox["distributief", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " ten opzichte van plus, dwz \t\t\t", StyleBox["\[ForAll]a,b,c\[Element]M ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["a ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" (b + c) = a ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" b + a ", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["x", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" c", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["\n", FontSlant->"Italic"], "\n[ ", ButtonBox["terug naar de tekst van het notebook", ButtonData:>"terug naar de tekst - van de def. van LICHAAM", ButtonStyle->"Hyperlink"], " ]" }], "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, Background->GrayLevel[0.900008], CellTags->"definitie van lichaam"], Cell[TextData[{ "We hebben dus daarnet bijna aangetoond dat ", StyleBox[ "de verzameling van complexe getallen met de bewerkingen plus en maal aan \ de algemene definitie van het LICHAAM voldoet. Dat lichaam wordt \"het \ lichaam ", FontSize->14, FontColor->RGBColor[1, 0, 0], FontVariations->{"Underline"->True}], StyleBox["\[DoubleStruckCapitalC]", FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], FontVariations->{"Underline"->True}], StyleBox[" van de complexe getallen\" genoemd.", FontSize->14, FontColor->RGBColor[1, 0, 0], FontVariations->{"Underline"->True}], " (het neutraal element is ", StyleBox["(0,0)", FontSlant->"Italic"], " en het eenheidselement is ", StyleBox["(1,0)", FontSlant->"Italic"], " - waarom?). Om het bewijs te voltooien, moet men nog voor elk getal ", StyleBox["z=(a,b)", FontSlant->"Italic"], " zijn multiplicatief invers en de tegengestelde vinden. Tracht ze zelf \ uit te rekenen. Als het niet lukt, kan je de oplossing van die opgave \ consulteren.\n", ButtonBox["Je vind ze door op dat stukje blauwe tekst te klikken.", ButtonData:>"oplossing - inverse elementen", ButtonStyle->"Hyperlink"] }], "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, Background->GrayLevel[0.900008], CellTags->"terug naar de tekst - lichaam. Van de oplossing - inverse el."], Cell["\<\ Meer daarover - en ook over de algebra's van de quaternionen en de octaven - \ ga je in een van de volgende notebooks kunnen lezen.\ \>", "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["Complexe functies", "Section", CellTags->"H4"], Cell[CellGroupData[{ Cell["Inleiding", "Subsection", CellDingbat->"\[FilledDiamond]", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, CellTags->"H4 D1"], Cell["\<\ We kunnen al optellen en vermenigvuldigen de verzameling van de complexe \ getallen. Dan kunnen we automatisch ook aftrekken (optellen van een \ tegengestelde van een vector) en delen (vermenigvuldigen met het invers \ element voor de vermenigvuldiging). Bij het delen worden de straallengtes \ gedeeld en de argumenten afgetrokken. Machtsvercheffing is een meervoudige \ vermenigvuldiging - dat kennen we dus ook al. Toch wordt dat nog even apart \ besproken. Worteltrekken wordt ook besproken in dit hoofdstuk.\ \>", "Text", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["Machtsverheffing", "Subsection", CellDingbat->"\[FilledDiamond]", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, CellTags->"H4 D2"], Cell[TextData[{ StyleBox[ "Bij het vermenigvuldigen van complexe getallen, worden hun moduli met \ mekaar vermenigvuldigd, en de argumenten opgeteld. Dat weet je al. Hoe gaat \ de machtsverheffing er dan uitzien", CellFrame->False, Background->None], "?", StyleBox["\nOm het kwadraat van het getal ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["z = r (cos\[CurlyPhi] + \[ImaginaryI] sin\[CurlyPhi])", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1], Background->None], StyleBox[ " uit te rekenen, moeten we dit getal met zichzelf vermenigvuldigen. De \ twee getallen die we dan met elkaar vermenigvuldigen, hebben dus dezelfde \ modulus en hetzelfde argument.\n\n", CellFrame->False, Background->None], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`z\^2\)], FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[ " = (r r) (cos(\[CurlyPhi]+\[CurlyPhi]) + \[ImaginaryI] sin(\[CurlyPhi]+\ \[CurlyPhi])) = ", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`r\^\(2\ \)\)], FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["(cos2\[CurlyPhi] + \[ImaginaryI] sin2\[CurlyPhi])", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\n\n", CellFrame->False, FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(z\^3\), FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], TraditionalForm]], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" = z ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`z\^2\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" = ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["(r ", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`r\^\(2\ \)\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[ ") (cos(\[CurlyPhi]+2\[CurlyPhi]) + \[ImaginaryI] sin(\[CurlyPhi]+2\ \[CurlyPhi])) =", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\ r\^3\)\)], FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["(cos3\[CurlyPhi] + \[ImaginaryI] sin3\[CurlyPhi])", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\n", CellFrame->False, FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox[ "\nEen simpele inductie (schrijf als oefening exact het inductiebewijs uit. \ Als het niet lukt, consulteer de oplossing. ", CellFrame->False, Background->None], ButtonBox["Klik op dat stukje blauwe tekst om ze te vinden", ButtonData:>"oplossing - inductiebewijs van de formule van de Moivre", ButtonStyle->"Hyperlink"], StyleBox[".) toont, dat voor elk natuurlijk getal ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["n", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[" geldt:\n\n", CellFrame->False, Background->None], Cell[BoxData[ FormBox[ SuperscriptBox[ RowBox[{ StyleBox["[", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], RowBox[{ StyleBox["r", CellFrame->False, Background->None], StyleBox[" ", CellFrame->False, FontColor->RGBColor[1, 0, 1], Background->None], RowBox[{"(", RowBox[{ StyleBox[ RowBox[{"c", StyleBox["os\[CurlyPhi]", CellFrame->False, Background->None]}]], StyleBox[" ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["+", CellFrame->False, Background->None], StyleBox[" ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox[\(\[ImaginaryI]\ sin\[CurlyPhi]\), CellFrame->False, Background->None]}], StyleBox[")", CellFrame->False, Background->None]}]}], StyleBox["]", CellFrame->False, Background->None]}], "n"], TraditionalForm]], FontSize->16, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" = ", FontSize->16, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`r\^\(n\ \)\)], FontSize->16, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["(cosn\[CurlyPhi] + \[ImaginaryI] sinn\[CurlyPhi])", CellFrame->False, FontSize->16, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\n\nDeze belangrijke formule is gekend als de ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["\"formule van de Moivre\"", CellFrame->False, FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox[ " en helpt ons om heel gemakkelijk machten van complexe getallen te \ vinden.", CellFrame->False, Background->None] }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, CellTags->"terug naar de tekst - de Moivre"], Cell[TextData[{ StyleBox[ "Deze formule laat ons ook toe om bijvoorbeeld de formules voor ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["cos", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox["n", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\[CurlyPhi]", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[" en ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["sin", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox["n", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\[CurlyPhi]", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[" te vinden (uitgedrukt in termen van ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["cos\[CurlyPhi]", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1], Background->None], StyleBox[" ", CellFrame->False, FontColor->RGBColor[1, 0, 1], Background->None], StyleBox["en ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["sin\[CurlyPhi]", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1], Background->None], StyleBox["). Hoe", CellFrame->False, Background->None], "?", StyleBox["\n", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["cos", CellFrame->False, FontSize->14, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox["n", CellFrame->False, FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\[CurlyPhi] + \[ImaginaryI] sin", CellFrame->False, FontSize->14, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox["n", CellFrame->False, FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\[CurlyPhi] = ", CellFrame->False, FontSize->14, FontSlant->"Italic", Background->None], Cell[BoxData[ FormBox[ SuperscriptBox[ StyleBox[\((cos\[CurlyPhi]\ + \ \[ImaginaryI]\ sin\[CurlyPhi])\), CellFrame->False, FontColor->RGBColor[1, 0, 1], Background->None], StyleBox["n", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]]], TraditionalForm]], FontSize->14, FontSlant->"Italic"], "\nAls we nu het rechterlid kunnen uitrekenen en zijn re", StyleBox["\[EDoubleDot]e", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "l en imaginair deel aanduiden, is onze opgave opgelost:\nhet re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le deel van het rechterlid van de gelijkheid moet immers gelijk zijn aan \ het re", StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], "le deel van het linkerlid - en dat is ", StyleBox["c", FontSlant->"Italic"], StyleBox["os", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox["n", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\[CurlyPhi]", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], "!\nanaloog - het imaginaire deel van het rechterlid van de gelijkheid moet \ gelijk zijn aan het imaginaire deel van het linkerlid - en dat is ", StyleBox["s", FontSlant->"Italic"], StyleBox["in", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox["n", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\[CurlyPhi]", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], "!\nGebruik het programma hieronder om de formules ", StyleBox["voor ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["cos", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox["n", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\[CurlyPhi]", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[" en ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["sin", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox["n", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\[CurlyPhi]", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[" voor verschillende ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["n", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[" te vinden. Het programma helpt ons namelijk het re", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["\[EDoubleDot]", CellMargins->{{27, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, TextAlignment->Left, FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox[ "le en imaginaire deel van het rechterlid van de gelijkheid te vinden. \ Vervang de rode ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["3", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[" in het programma door een zelfgekozen waarde van ", CellFrame->False, Background->None], StyleBox["n", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[".", CellFrame->False, Background->None] }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[{ \(Clear[f, formuleCos, formuleSin]; \n\n f[n_] := Expand[\((Cos[x] + \[ImaginaryI]\ Sin[x])\)^n]\), \(formuleCos[n_] := ComplexExpand[Re[f[n]]]\), RowBox[{\(formuleSin[n_] := ComplexExpand[Im[f[n]]]\), "\n"}], RowBox[{"f", "[", StyleBox["3", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "]"}], RowBox[{"formuleCos", "[", StyleBox["3", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "]"}], RowBox[{"formuleSin", "[", StyleBox["3", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "]"}]}], "Input"], Cell[TextData[{ "Het resultaat van de berekening hierboven is:\n\n", StyleBox["cos", CellFrame->False, FontSize->14, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox["3", CellFrame->False, FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\[CurlyPhi]", CellFrame->False, FontSize->14, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox[" = ", FontSize->14, FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ FormBox[ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", StyleBox[ RowBox[{"cos", StyleBox["\[CurlyPhi]", CellFrame->False, Background->None]}]], StyleBox[")", CellFrame->False, Background->None]}], "3"], TraditionalForm]], FontSize->14, FontSlant->"Italic"], StyleBox[" - 3 cos\[CurlyPhi] ", FontSize->14, FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ FormBox[ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", StyleBox[ RowBox[{"sin", StyleBox["\[CurlyPhi]", CellFrame->False, Background->None]}]], StyleBox[")", CellFrame->False, Background->None]}], "2"], TraditionalForm]], FontSize->14, FontSlant->"Italic"], StyleBox["\n", FontSize->14, FontSlant->"Italic"], StyleBox["sin", CellFrame->False, FontSize->14, FontSlant->"Italic", Background->None], StyleBox["3", CellFrame->False, FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0], Background->None], StyleBox["\[CurlyPhi] = 3 ", CellFrame->False, FontSize->14, FontSlant->"Italic", Background->None], Cell[BoxData[ FormBox[ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", StyleBox[ RowBox[{"cos", StyleBox["\[CurlyPhi]", CellFrame->False, Background->None]}]], StyleBox[")", CellFrame->False, Background->None]}], "2"], TraditionalForm]], FontSize->14, FontSlant->"Italic"], StyleBox[" sin\[CurlyPhi] - ", FontSize->14, FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ FormBox[ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", StyleBox[ RowBox[{"sin", StyleBox["\[CurlyPhi]", CellFrame->False, Background->None]}]], StyleBox[")", CellFrame->False, Background->None]}], "3"], TraditionalForm]], FontSize->14, FontSlant->"Italic"], StyleBox["\n", FontSlant->"Italic"], "\nDie formules kunnen soms heel nuttig zijn en je kan ze altijd \ gemakkelijk afleiden uit de formule van de Moivre.\n\nOp die manier kan je \ nog veel andere goniometrische formules vinden - maar dat is een onderwerp \ voor een ander notebook." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["Wortels", "Subsection", CellDingbat->"\[FilledDiamond]", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}, CellTags->"H4 D3"], Cell[TextData[{ "Voor elk natuurlijk getal ", StyleBox["n>1", FontSlant->"Italic"], " geldt: ELK complex getal (behalve nul) heeft PRECIES ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], " VERSCHILLENDE ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], "-de machtswortels. Die liggen op de cirkel met ", StyleBox["(0,0)", FontSlant->"Italic"], " als het middelpunt en straal gelijk aan ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ \(\@\(\[VerticalSeparator]\(z \[VerticalSeparator] \)\)\%n\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], ": die punten zijn de hoekpunten van een regelmatige ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], "-hoek.\n\t", StyleBox["Waarom? - kan je vragen.", FontWeight->"Bold"], "\nHet kan niet anders - worteltrekken is immers de omgekeerde bewerking \ van de machtsverheffing. Als we naar de ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], "-de machtswortels van ", StyleBox["z = r (cos\[CurlyPhi] + \[ImaginaryI] sin\[CurlyPhi])", CellFrame->False, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 1], Background->None], " zoeken, moeten we een soort \"omgekeerde de Moivre - principe\" \ toepassen:\nWe zoeken het getal ", StyleBox["w", FontSlant->"Italic"], " dat aan de vergelijking ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{" ", StyleBox[\(w\^n = z\), FontSlant->"Italic"], " "}], TraditionalForm]]], " voldoet.\nWe zien onmiddellijk dat \[VerticalSeparator]", StyleBox["w", FontSlant->"Italic"], "\[VerticalSeparator]", StyleBox[" = ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm \`\@\(\[VerticalSeparator]\( z \[VerticalSeparator] \)\)\%n\)], FontSlant->"Italic"], ". \n\tEn het argument?\nEen goede kandidaat is zeker ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\[CurlyPhi]\/n\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], ", want ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\[CurlyPhi]\/n\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" n=\[CurlyPhi]", FontSlant->"Italic"], ".\nMaar ", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\[CurlyPhi]\ + \ 2\ \[Pi]\)\/n\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" n=\[CurlyPhi]+2\[Pi]", FontSlant->"Italic"], " heeft dezelfde ", StyleBox["cos", FontSlant->"Italic"], " en ", StyleBox["sin", FontSlant->"Italic"], " als ", StyleBox["\[CurlyPhi]", FontSlant->"Italic"], " (wegens de ", StyleBox["2 \[Pi]", FontSlant->"Italic"], " - periodiciteit van die functies), dus het getal met de argument ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\(\[CurlyPhi]\ + \ 2\ \[Pi]\)\/n\ \), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " voldoet ook aan de voorwaarde.\n", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\[CurlyPhi]\ + \ 4\ \[Pi]\)\/n\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" n=\[CurlyPhi]+4\[Pi]", FontSlant->"Italic"], " ook...\nOp die manier krijgen we exact ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], " verschillende wortels van ", StyleBox["z", FontSlant->"Italic"], "!\n\n\t", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\@z\%n = \)\)], FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm \`\@\(\[VerticalSeparator]\( z \[VerticalSeparator] \)\)\%n\)], FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["(cos[", FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\[CurlyPhi] + 2 k\[Pi]\)\/n\)], FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["]+\[ImaginaryI] sin[", FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\[CurlyPhi] + 2 k\[Pi]\)\/n\)], FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["]) ", FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" voor ", FontSize->14, FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox["k=0,1,...,n-1", FontSize->14, FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]] }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ "Op de tekening hieronder zie je een illustratie van de ligging van de \ zevendemachtswortels van ", StyleBox["1.\n", FontSlant->"Italic"], "Het argument van de eerste wortel is nul en ze liggen allemaal op de \ eenheidscirkel.\nIn geval van zevendemachtswortels van een ander complex \ getal ", StyleBox["z", FontSlant->"Italic"], " verschillend van nul zou de tekening heel gelijkaardig zijn. De \ regelmatige veelhoek zou alleen maar geroteerd zijn over de hoek ", StyleBox["Arg[z]/7", FontSlant->"Italic"], " tegen de klokwijzers in en zijn hoekpunten zouden liggen op een cirkel \ met straal ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ \(\@\(\[VerticalSeparator]\(z \[VerticalSeparator] \)\)\%7\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], ".\n\nDe ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], "-de machtswortel van ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], " met argument ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\(2\ \[Pi]\)\/n\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " wordt dikwijls ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(w\_1\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " (of ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ StyleBox[\(\[CurlyEpsilon]\_1\), FontSlant->"Italic"], ")"}], TraditionalForm]]], " genoemd, de wortel met argument ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\(4\ \[Pi]\)\/n\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " is ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(w\_2\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], ", ... , de wortel met argument ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\(2\ \((n\ - \ 1)\)\ \[Pi]\)\/n\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " is ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(w\_\(n - 1\)\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], ".\nMerk op, dat ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(w\_i = w\_1\^i\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " voor ", StyleBox["i=0 ,1 ,2 ,...,n-1", FontSlant->"Italic"], ". De modulus is overal ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], ", en de argumenten nemen in tegenwijzerszin telkens toe met ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\(2\ \[Pi]\)\/n\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " - we herkennen onmiddellijk de definitie van het vermenigvuldigen met ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(w\_1\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], "! Dit is ook heel duidelijk te zien op de tekening hieronder.\n\n\ Experimenteer daar gerust zelf mee! Door de rode \"", StyleBox["7", FontSlant->"Italic"], "\" te vervangen door een ander natuurlijk getal ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], " en de twee cellen hieronder te evalueren, krijg je de tekening van alle \ ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], "-de machtswortels van ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], " van de door jou gekozen graad ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], ".\nAls je wil, kan je ook het programma in de gesloten cel hieronder \ bekijken." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[{ \(<< Graphics`Arrow`\n\), \(Clear[eenheidswortels]\n\), \(eenheidswortels[n_] := Show[{{Graphics[ Table[{Hue[0], Arrow[{0, 0}, {Cos[x], Sin[x]}]}, {x, 0, 2\ Pi, 2\ Pi/n}]]}, \n \t\t\t{Graphics[ Table[{Hue[0], PointSize[0.03], Point[{Cos[x], Sin[x]}]}, {x, 0, 2\ Pi, 2\ Pi/n}]]}, \n \t\t\t{Graphics[{Hue[0.3], Circle[{0, 0}, 1]}]}, { Graphics[{Hue[0.7], Circle[{0, 0}, .3, {0, 2\ Pi/n}]}]}, { Graphics[{Hue[0.7], Text[FontForm[ \*"\"\<\!\(\(2 \[Pi]\)\/n\)\>\"", {"\", 18}], {0.5\ Cos[\[Pi]/n], 0.5\ Sin[\[Pi]/n]}]}]}, \n \t\t\t{Graphics[{Hue[0], Text[FontForm[ \*"\"\<\!\(w\_1\)\>\"", {"\", 18}], { Cos[2\ \[Pi]/n], Sin[2\ \[Pi]/n] - .2}]}]}, \n \t\t\t{Graphics[{Hue[0], Text[FontForm[ \*"\"\<\!\(w\_2\)=\!\(w\_1\^2\)\>\"", { "\", 18}], {Cos[4\ \[Pi]/n], Sin[4\ \[Pi]/n] - .2}]}]}, \n \t\t\t{Graphics[{Hue[0], Text[FontForm[ \*"\"\<\!\(w\_3\)=\!\(w\_1\^3\)\>\"", { "\", 18}], {Cos[6\ \[Pi]/n], Sin[6\ \[Pi]/n] - .2}]}]}, \n \t\t\t{Graphics[{Hue[0], Text[FontForm[ "\<...en zo voort\>", {"\", 12}], { Cos[6\ \[Pi]/n], Sin[6\ \[Pi]/n] - .35}]}]}}, PlotRange -> All, AspectRatio -> Automatic, Axes -> True]\)}], "Input"] }, Open ]], Cell[BoxData[ RowBox[{"eenheidswortels", "[", StyleBox["7", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "]"}]], "Input"], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ "Je kan er ook zelf mee spelen - en ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], "-de machtswortels van willekeurige complexe getallen vinden. Je kan \ daarvoor het programma hieronder gebruiken. Vervang de drie rode argumenten \ ", StyleBox["[ ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["r", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" , ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["\[CurlyPhi]", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" , ", FontSlant->"Italic"], StyleBox["n", FontSlant->"Italic", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], StyleBox[" ]", FontSlant->"Italic"], " van functie \"wortels\" door de zelf gekozen getallen. Wat is de \ betekenis van die argumenten?:\n* het eerste getal is modulus van het complex \ getal (waarvan je de wortels wil vinden)\n* het tweede getal is het argument \ van dit complex getal (in radialen. Niet vergeten: ", StyleBox["\[Pi]/2", FontSlant->"Italic"], " is ongeveer ", StyleBox["1.5708", FontSlant->"Italic"], ")\n* het derde getal is de macht van de wortels.\nHet programma toont het \ complex getal ", StyleBox["z=(r,\[CurlyPhi])", FontSlant->"Italic"], " dat je gekozen hebt (in het roos) en alle ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], "-de machtswortels van dit getal (in het rood) : de wortels vormen de \ hoekpunten van een regelmatige ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], "-hoek met middelpunt ", StyleBox["(0,0)", FontSlant->"Italic"], " en liggen op de cirkel met straal ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(\@r\%n\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], ". De groene cirkel (eenheidscirkel) werd getekend om de link met het \ vorige voorbeeld te schetsen. Je mag ook gerust ", StyleBox["r=1", FontSlant->"Italic"], " kiezen en kijken wat er dan gebeurt!\nDe hoek tussen de eerste rode pijl \ in het eerste kwadrant en de positieve richting van de ", StyleBox["x", FontSlant->"Italic"], "-as is gelijk aan ", Cell[BoxData[ \(\(\ \[CurlyPhi]\/n\)\)]], ". Dat is die rotatiehoek waarover er sprake was bij het vorige voorbeeld.\ \n(door de cel open te klikken kan je de programmatie bekijken)." }], "Text", CellMargins->{{36, Inherited}, {Inherited, Inherited}}], Cell[BoxData[ \(<< Graphics`Arrow`\n\nClear[wortels]; \n\n wortels[r_, \[CurlyPhi]_, n_] := {{ Graphics[ Table[{Hue[0], Arrow[{0, 0}, {r^\((1/n)\)\ Cos[x], r^\((1/n)\)\ Sin[x]}]}, { x, \[CurlyPhi]/n, 2\ Pi, 2\ Pi/n}]]}, \n \t\t{Graphics[ Table[{Hue[0], PointSize[0.03], Point[{r^\((1/n)\)\ Cos[x], r^\((1/n)\)\ Sin[x]}]}, {x, \[CurlyPhi]/n, 2\ Pi, 2\ Pi/n}]]}, \n \t\t{Graphics[{Hue[0.3], Circle[{0, 0}, 1]}]}, \n \t\t{Graphics[{Hue[0.9], Circle[{0, 0}, r]}]}, \n \t\t{Graphics[{ Hue[0.9], {PointSize[0.03], Point[{r\ Cos[\[CurlyPhi]], r\ Sin[\[CurlyPhi]]}]}}]}, \n \t\t{Graphics[{Hue[0.9], Text[FontForm["\", {"\", 18}], { r\ Cos[\[CurlyPhi]], r\ Sin[\[CurlyPhi]] - .3}]}]}, \n \t\t{Graphics[{Hue[0], Circle[{0, 0}, r^\((1/n)\)]}]}, \n \t\t{Graphics[{Hue[0.9], Arrow[{0, 0}, {r\ Cos[\[CurlyPhi]], r\ Sin[\[CurlyPhi]]}]}]}, \n \t\t{Graphics[{Hue[0.7], Circle[{0, 0}, .3, {\[CurlyPhi]/n, \((\[CurlyPhi] + 2\ Pi)\)/n}]}]}, { Graphics[{Hue[0.7], Text[FontForm[ \*"\"\<\!\(\(2 \[Pi]\)\/n\)\>\"", {"\", 14}], {0.5\ Cos[\((\[CurlyPhi] + \[Pi])\)/n], 0.5\ Sin[\((\[CurlyPhi] + \[Pi])\)/n]}]}]}, \n \t\t{Graphics[{Hue[ .6], Arrow[{2, 1}, {0.7\ Cos[\[CurlyPhi]/n], 0.7\ Sin[\[CurlyPhi]/n]}], \n\ \ \ \ \ Text[FontForm[ \*"\"\<\!\(\[CurlyPhi]\/n\)\>\"", {"\", 18}], {2, 1}]}]}, \n \ \t{Graphics[{Hue[ .6], Circle[{0, 0}, .7, {0, \[CurlyPhi]/n}]}]}} \)], "Input"] }, Open ]], Cell[BoxData[ RowBox[{"Show", "[", RowBox[{ RowBox[{"wortels", "[", RowBox[{ StyleBox["2", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ",", StyleBox["0.8", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], ",", StyleBox["5", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]]}], "]"}], ",", \(PlotRange -> All\), ",", \(AspectRatio -> Automatic\), ",", \(Axes -> True\)}], "]"}]], "Input"], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ "Als we de som van alle wortels van ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], " van een bepaalde macht willen uitrekenen, constateren we rap (op basis \ van de informatie over het verband tussen de ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[\(w\_1\), FontSlant->"Italic"], TraditionalForm]]], " en de rest van de wortels van ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], " en gebruikmakende van de formule voor de som van de geometrische reeks), \ dat die NUL is voor ", StyleBox["n>1", FontSlant->"Italic"], ":\n\n", StyleBox["1 + ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(\(w\_1\^2\ + \)\ \ \)\)], FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm \`\(\(\(\(w\_1\^3\ + \)\ ... \)\ + \ w\_1\^\(n - 1\)\ = \)\ \)\)], FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(w\_1\^n\ - \ 1\)\/\(w\_1\ - \ 1\)\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" = ", FontSlant->"Italic"], Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`\(1\ - \ 1\)\/\(w\_1\ - \ 1\)\)], FontSlant->"Italic"], StyleBox[" = 0", FontSlant->"Italic"], "\t- ", Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{" ", StyleBox[\(w\_1\^n\), FontSlant->"Italic"]}], TraditionalForm]]], " is immers gelijk aan ", StyleBox["1.", FontSlant->"Italic"], "\n\nZou dat geen meetkundige interpretatie hebben?\nHieronder zie je het \ grafisch bewijs van hetzelfde feit (voor ", StyleBox["n=5", FontSlant->"Italic"], ", want voor grotere ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], " is de tekening minder overzichtelijk).\n", StyleBox[ "Een opmerking: de hele redenering steunt op de eigenschappen van \ regelmatige veelhoeken.", FontSlant->"Italic"], "\nWe moeten bewijzen dat de som van de wortels van ", StyleBox["1", FontSlant->"Italic"], " (de \"dikke\" vectoren op de tekening) nul is.\nWe weten, dat de som van \ de vectoren die een regelmatige veelhoek vormen nul is (de som van de \ vectoren die \"toekomen\" in de plaats van hun \"vertrek\" - de totale \ verplaatsing is nul). We verschuiven die vectoren tot ", StyleBox["(0,0)", FontSlant->"Italic"], " en merken op, dat ze tesamen een sterreachtig \"skelet\" vormen dat na \ een rotatie over een hoek (de \"zwarte\") met het \"skelet\" van de ", StyleBox["n", FontSlant->"Italic"], "-de machtswortels van ", StyleBox["